Свойства логарифмической функции и её график

🔒 Sign in to use this

Функция $y=\log_a x$

Область определения: $x>0$ . Область значений: все вещественные $y$ . Рост при $a>1$ , убывание при $0<a<1$ ; точка $(1;0)$ всегда на графике. Вертикальная асимптота $x=0$ (ветвь уходит в $-\infty$ или $+\infty$ в зависимости от $a$ при $x\to0^+$ ). С графиком $y=a^x$ функция взаимно обратна: симметрия относительно $y=x$ .

В задачах с параметром монотонность $\log_a$ определяет направление неравенств

Типовые свойства на $(0,+\infty)$

Условие	Поведение $\log_a x$
$a>1$	строго возрастает
$0<a<1$	строго убывает
$x\in(0;1)$ , $a>1$	$\log_a x<0$
$x>1$ , $a>1$	$\log_a x>0$

Сравните y=log⁡2xy=\log_2 xy=log2​x и y=log⁡1/2xy=\log_{1/2} xy=log1/2​x: симметричность относительно оси OxOxOx не та, но обе через (1;0)(1;0)(1;0).
-4-202412345678910Vertical asymptote as x → 0⁺; domain x > 0(1; 0)xya=2a=2a=2
a=0.5a=0.5a=0.5

Тот же aaa сопоставьте с логарифмом (обратная функция).
02468-2-10123(0; 1)xyy = 0 — horizontal asymptotey=2xy=2^xy=2x

✅Вы читаете $D,E$ , монотонность и асимптоту $y=\log_a x$ и связываете с $a^x$ .

🔒 Sign in to use this