Как получить уравнение касательной к графику функции

🔒 Sign in to use this

Касательная как график линейной функции

Если $f$ дифференцируема в $x_0$ , то уравнение касательной к $y=f(x)$ в точке $(x_0;f(x_0))$ : $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$ $f'(x_0)$ — угловой коэффициент; прямая $y=kx+b$ , где $k=f'(x_0)$ , $b=f(x_0)-f'(x_0)x_0$ . Нормаль (перпендикуляр к касательной в той же точке) при $f'(x_0)\neq0$ имеет угловой коэффициент $-1/f'(x_0)$ .

Если $f'(x_0)=0$ — касательная горизонтальна ( $y=f(x_0)$ )

Любая касательная в итоге прямая; отличие — в том, что k,bk,bk,b связаны с f(x0),f′(x0)f(x_0),f'(x_0)f(x0​),f′(x0​).
y = 1.5x + 0.25
-8-7-6-5-4-3-2-1012345678-8-7-6-5-4-3-2-112345678xyFrom the graph: at x = 2, y = 3.25.

Пример: парабола $y=ax^2+bx+c$

Пунктир на графике — касательная в выбранной точке x0x_0x0​ (ползунок слева); оранжевая точка лежит на параболе. f′(x)=2ax+bf'(x)=2ax+bf′(x)=2ax+b подставляйте в формулу касательной на бумаге и сличайте с показанным угловым коэффициентом.
y=0.85x2−1.4x+0.6y=0.85x^2-1.4x+0.6y=0.85x2−1.4x+0.6
a0.85
b-1.4
c0.6
Vertex: (0.82; 0.02)
Discriminant D: -0.08
Branches: open upward (a > 0)
Point of tangency x₀
x₀0
f′(x₀) = -1.4

y=0.5(x−1)2+0.5y=0.5(x-1)^2+0.5y=0.5(x−1)2+0.5 — в x=1x=1x=1 производная 000 → касательная y=0,5y=0{,}5y=0,5.
y=0.5(x−1)2+0.5y=0.5(x-1)^2+0.5y=0.5(x−1)2+0.5
-2-101234xyBranches: open upward (a > 0)
Vertex: (1; 0.5)
Axis of symmetry:x=1x=1x=1
No x-intercepts (below/above the x-axis)
Dashed: reference y = ax² without shift

✅ $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ — единый каркас задач на касательную; связь с $kx+b$ и особый случай $f'(x_0)=0$ ясны.

🔒 Sign in to use this