Исследование функций на монотонность и экстремумы
🔒 Sign in to use this
f′>0 ⇒ рост, f′<0 ⇒ убывание
Если f непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b) и при этом f′(x)>0 для всех x∈(a;b), то f строго возрастает на [a;b] (аналогично для f′<0 и строгого убывания).
Стационарные точки: f′(x0)=0 — «кандидаты» на экстремум (часто внутренние, если рядом меняется знак f′).
Теорема Ферма (необходимое условие): если x0 — точка локального экстремума внутри интервала дифференцируемости, то f′(x0)=0 или производная там не определена.
f′(x0)=0 не гарантирует локальный экстремум (f(x)=x3 в 0: f′(0)=0, но экстремума нет — там перегиб)
Схема рассмотрения задачи
| Шаг | Действие |
|---|---|
| D(f) | Сначала область определения и возможные особенности |
| f′=0 или f′ не существует в точке | Выписать критические точки внутри D |
| Знак f′ | Разметить промежутки роста/убывания |
| Значение f | Вычислить в точках локального интереса, сравнить |
f′(x)>0 на пересечении промежутков
(1;5) как типичный промежуток, где производная параболы может быть одного знака; на бумаге сопоставьте с решением 2ax+b>0.
x>1 и x<5
Upper shaded band — first inequality
Lower shaded band — second inequality
(1;5)
Наглядно: вершина параболы
Экстремум 11 класса: в вершине f′=0, слева/справа знак f′ разный если a=0.
y=−0.65x2+1.8x+0.8
a-0.65
b1.8
c0.8
Vertex: (1.38; 2.05)
Discriminant D: 5.32
Branches: open downward (a < 0)
Point of tangency x₀
x₀0.18
f′(x₀) = 1.57
💡Следующий урок добавляет вторую производную, выпуклость и перегиб для более точной графической картины.
✅Вы читаете f′ как рост/спад, отмечаете критические точки и связываете с экстремумами осторожно — с проверкой знака f′.
🔒 Sign in to use this