Исследование выпуклости и перегиба, построение графиков функции
🔒 Sign in to use this
f′′ как «ускорение наклона»
Если f′′>0 на интервале, график выпукл вниз (чаша «держит воду» в привычной ориентации осей). Если f′′<0 — выпуклость вверх.
Точки перегиба подозреваются там, где f′′ меняет знак или перестаёт существовать при непрерывности f.
Порядок исследования графика (черновик): D(f), непрерывность, асимптоты → f′,′′ знаки → экстремумы, выпуклость, перегибы → симметрии если есть.
f′′(x0)=0 не означает перегиб само по себе — нужна смена знака f′′
f′′ интерпретация локально
| Условие | График (на отрезке) |
|---|---|
| f′′>0 | локально ниже касательных («выпуклость вниз») |
| f′′<0 | выше касательных по левой/правой половинке штриховке |
| f′′ меняет знак через 0 | перегиб: меняется, «с какой стороны лежим» относительной касательной |
f(x)=x3 — перегиб в 0, f′′ меняет знак
f′=3x2 неотрицательна; f′′=6x меняет знак в нуле — типичное место для перегиба, даже когда f′=0 тоже в нуле.
y=x3
Odd function: f(−x) = −f(x), origin symmetry
Always increasing throughout ℝ
Inflection at the origin (0; 0)
f(x)=ax2+bx+c — **f′′=2a постоянная
a>0 ⇒ f′′>0 — «чаша», a<0 — «крыша» без перегиба на всей области.
y=0.55x2−0.4x−0.2
a0.55
b-0.4
c-0.2
Vertex: (0.36; -0.27)
Discriminant D: 0.6
Branches: open upward (a > 0)
Point of tangency x₀
x₀0.18
f′(x₀) = -0.21
✅Вы добавляете f′′ к схеме исследования: знак второй производной ↔ локальная выпуклость, перегиб там, где знак меняется плавно или при аккуратной особенности.
🔒 Sign in to use this