Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин
🔒 Sign in to use this
f непрерывна на [a;b]
На отрезке непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений. Кандидаты на экстремум на этом отрезке:
• концы a,b;
• внутренние точки, где f′(x)=0;
• внутренние точки, где f′ не существует, но функция всё же принимается в них в значение конечном (излом и т.п.).
Дальше сравнивают числа: максимум — max, минимум — min по конечному набору кандидатов.
Глобальный максимум на R и ситуация на [a;b] — разные постановки; не смешивайте открытые интервалы с [a;b]
Промежуток поиска — отрезок
[a;b]: не забыть концы — часто там и «таится» решение задачи приложениями.
Отрезок −2≤x≤3 (оба конца — в списке кандидатов)
Upper shaded band — first inequality
Lower shaded band — second inequality
[−2;3]
Парабола на [−2;3] — глобальный максимум может быть в конце
Найдите вершину вручную и сравните f(−2),f(3),f(xv) — какие из них реально max/min на отрезке?
y=−0.4x2+0.8x+1.2
Branches: open downward (a < 0)
Vertex: (1; 1.6)
Axis of symmetry:x=1
x-intercepts: -1, 3
Двигайте a,b,c и мысленно фиксируйте [a;b] из условия: на отрезке «внутренняя» вершина иногда не даёт глобальный max.
y=−0.35x2+1.1x+0.2
a-0.35
b1.1
c0.2
Vertex: (1.57; 1.06)
Discriminant D: 1.49
Branches: open downward (a < 0)
Point of tangency x₀
x₀0.18
f′(x₀) = 0.98
✅Алгоритм: f непрерывна на [a;b] → список кандидатов a,b + критические внутри → сравнение значений f.
🔒 Sign in to use this