Вычисление площадей с помощью интегралов

🔒 Sign in to use this

Площадь «криволинейной трапеции»

Пусть $f$ неотрицательна и непрерывна на $[a;b]$ . Тогда геометрическая площадь фигуры под графиком $y=f(x)$ , над $Ox$ и между $x=a$ и $x=b$ , совпадает с $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ . Если $f$ уходит ниже оси на части отрезка, $\int_a^b f$ даёт алгебраическую площадь: части ниже оси входят с минусом. Площадь как «чистая величина» между кривой и осью тогда ищут $\int_a^b |f(x)|\,dx$ или разбивают на отрезки знакопостоянства и складывают модули.

Рисунок всегда согласуйте с знаком $f$ : не путайте $\int$ и «площадь закраски»

Три типичные постановки

Постановка	Формула / действие
$f\geq0$ на $[a;b]$	$S=\int_a^b f(x)\,dx$
$f$ меняет знак	разбить $[a;b]$ на куски $f\geq0$ / $f\leq0$ , сложить $\left\|\int\ldots\right\|$ по кускам
Между $f$ и $g$ , $f\geq g$	$S=\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$ при непрерывности и осторожности с пересечениями

Пример: $y=x^2-1$ — часть ниже оси

f(x)=x2−1f(x)=x^2-1f(x)=x2−1 отрицательна при ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1; определённые интегралы по [−2;2][-2;2][−2;2] и раздельные куски дадут разный вклад знака.
y=x2−1y=x^2-1y=x2−1
-2-1012xyBranches: open upward (a > 0)
Vertex: (0; -1)
Axis of symmetry:x=0x=0x=0
x-intercepts: -1, 1

Разбиение промежутка по знаку

На [−2;−1][-2;-1][−2;−1], [−1;1][-1;1][−1;1], [1;2][1;2][1;2] функция x2−1x^2-1x2−1 имеет разный знак — удобно считать площадь по модулю по частям.
x≤−1x\leq-1x≤−1 (левее нуля пересечений)
Solution set on the number line-3-2-10123x[−∞ ; −1][-\infty\,;\,-1][−∞;−1]

Положительная парабола на ограниченном промежутке

∫02x2 dx=83\int_0^2 x^2\,dx=\dfrac{8}{3}∫02​x2dx=38​ — связь числа интеграла с закрашенной («мысленно») площадью под синей кривой.
y=0.5x2y=0.5x^2y=0.5x2
012xyBranches: open upward (a > 0)
Vertex: (0; 0)
Axis of symmetry:x=0x=0x=0
x-intercepts: 0

✅ $\int_a^b f$ на геометрии трактуйте аккуратно: выше оси — плюс, ниже — минус; полная закрашенная площадь требует $|f|$ или кусочного расчёта.

🔒 Sign in to use this