DevLearn logo
Skill Up With Me
Interactive Learning
Signing in…

Сочетания и их свойства

🔒 Sign in to use this
Сочетания CnkC_n^k
kk-элементное подмножество из nn различных объектов считается одним сочетанием, сколько бы ни переставляли выбранные элементы между собой. Cnk=n!k!(n−k)!,0≤k≤n.C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},\quad 0\leq k\leq n. Связь с размещениями: Ank=Cnk⋅k!A_n^k=C_n^k\cdot k! — сначала выбрать множество, потом упорядочить его k![/math]]∗∗способами.∗∗Симметрия:∗∗∗∗[[math]]Cnk=Cnn−kk![/math]]** способами. **Симметрия:** **[[math]]C_n^k=C_n^{n-k}.
Cn0=Cnn=1C_n^0=C_n^n=1; Cn1=nC_n^1=n
C102=45C_{10}^2=45, C83=56C_8^3=56 — поиграйте ползунками.
Permutations, arrangements, combinations for small nn
nn10
kk2
Permutations: P10=10!=3628800P_{10}=10! = 3628800
Arrangements: A102=90A_{10}^{2}=90
Combinations: C102=45C_{10}^{2}=45
n!n! permutes all; AnkA_{n}^{k} counts ordered kk-tuples; CnkC_{n}^{k} ignores order.
Тождества 1111 класса
ТождествоЗапись
СимметрияCnk=Cnn−kC_n^k=C_n^{n-k}
Правило ПаскаляCnk=Cn−1k−1+Cn−1kC_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k (kk целое, 1≤k≤n−11\leq k\leq n-1)
Сумма по kk∑k=0nCnk=2n\sum_{k=0}^n C_n^k=2^n (подсчёт всех подмножеств)
Коэффициенты CnkC_n^k выступают как биномиальные коэффициенты в разложении (a+b)n(a+b)^n и образуют строки треугольника Паскаля.
CnkC_n^k — целое число при целых n≥k≥0n\geq k\geq 0
✅Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}; Cnk=Cnn−kC_n^k=C_n^{n-k}; треугольник Паскаля собирает CnkC_n^k.
🔒 Sign in to use this