Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

🔒 Sign in to use this

Треугольник Паскаля

На $n$ -й «горизонтальной» строчке (считая вершину за $n=0$ ) стоят числа $C_n^0,\,C_n^1,\,\ldots,\,C_n^n$ . Правило Паскаля $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ оформляет конструкцию треугольника: каждое внутреннее число — сумма двух чисел над ним. Сумма строки: $\sum_{k=0}^n C_n^k=2^n$ — число всех подмножеств $n$ -элементного множества.

Граничные $1$ слева и справа — $C_n^0=C_n^n=1$

Строки $n=0,1,2,3$ руками

$n$	Коэффициенты $C_n^k$
0	$1$
1	$1\quad 1$
2	$1\quad 2\quad 1$
3	$1\quad 3\quad 3\quad 1$

Бином Ньютона

Для любых $a,b$ и натурального $n$ : $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k\,a^{n-k}b^k.$ Частные случаи: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$ При $a=b=1$ получают $2^n=\sum_k C_n^k$ — согласованность с подсчётом подмножеств.

Степени $a,b$ в мономах в сумме всегда $n$

Сверьте C52=C53=10C_5^2=C_5^3=10C52​=C53​=10 с треугольником.
Permutations, arrangements, combinations for small nnn
nnn5
kkk2
Permutations: P5=5!=120P_{5}=5! = 120P5​=5!=120
Arrangements: A52=20A_{5}^{2}=20A52​=20
Combinations: C52=10C_{5}^{2}=10C52​=10
n!n!n! permutes all; AnkA_{n}^{k}Ank​ counts ordered kkk-tuples; CnkC_{n}^{k}Cnk​ ignores order.

✅Треугольник Паскаля кодирует $C_n^k$ ; бином Ньютона разворачивает $(a+b)^n$ через эти коэффициенты.

🔒 Sign in to use this