Независимые события. Умножение вероятностей

🔒 Sign in to use this

Независимость

События

A

B

называют независимыми, если наступление одного не меняет вероятности другого: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ (в стандартной постановке это принимают как определение независимости для задач). Примеры опытов «подряд» с возвращением и честным перемешиванием часто моделируют независимыми шагами.

Зависимые события требуют условных вероятностей — это отдельная тема

Теорема умножения для независимых

Если

A

B

независимы, $P(A\cap B)=P(A)\,P(B).$ Для $k$ попарно независимых шагов в схожей постановке: $P(A_1\cap\cdots\cap A_k)=P(A_1)\cdots P(A_k)$ .

Не путай с

P(A\cup B)

— там было сложение (после проверки несовместности или общая формула)

Пример: два броска честной монеты

Исходы $(О,О),(О,Р),(Р,О),(Р,Р)$ равновозможны. Событие «оба орла» — одна пара, $P=1/4$ . С независимостью: $P(\text{орёл})\cdot P(\text{орёл})=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$ .

Для «орёл и решка в любом порядке» два благоприятных исхода — $P=1/2$

Пространство 6×6=366\times 6=366×6=36 пар граней; событие «сумма 7» — 6 благоприятных пар — проверь m=6,n=36m=6,n=36m=6,n=36
Classical Laplace scheme: P=mnP=\dfrac{m}{n}P=nm​
Outcomes nnn36
Favourable mmm6
P=636=0.1667P=\dfrac{6}{36}=0.1667P=366​=0.1667
Green = favourable outcomes, grey = the rest (equally likely).
Irreducible fraction: 1/6 ≈ 0.1667

Снова кубик: одно испытание

Один бросок — для сравнения с парой костей выше
Fair die: choose an event AAA, count favourable outcomes
1
2
3
4
5
6
Favourable m: 2, Total n: 6
P(A)=26=1/3=0.3333P(A)=\dfrac{2}{6}=1/3=0.3333P(A)=62​=1/3=0.3333

✅Последний урок раздела — статистическая вероятность и сходимость частот.

🔒 Sign in to use this