Закон распределения вероятностей. Закон больших чисел

🔒 Sign in to use this

Ряд распределения дискретной величины

Для дискретной случайной величины

X

, принимающей значения

x_1,\ldots,x_k

с вероятностями $p_i=P(X=x_i)$ , требуют: $0\le p_i\le 1,\qquad \sum_{i=1}^k p_i=1.$ Таблица

(x_i,p_i)

и называет законом распределения

X

«Закон» — не про закон природы, а про полное перечисление вероятностей значений

S\in\{2,\ldots,12\}

; числа

p_k

согласованы с классическим

\Omega

из 36 равновозможных пар граней.

Пример: сумма двух честных костей

[[math]]k[[/math]] (сумма) —	[[math]]P(S=k)[[/math]] —

2	1/36
7	6/36
12	1/36

Если конечно

\Omega

и все исходы равновозможны, каждое $P(X=x_i)$ получают как отношение числа благоприятных элементарных исходов к

n=|\Omega|

. Полный набор

p_i

тогда автоматически суммируется в

1

Виджет ниже — наглядная схема

m/n

на конечном множестве исходов

Любое разбиение nnn равновозможных точек на «синие» и «серые» задаёт P(синий)=m/nP(\text{синий})=m/nP(синий)=m/n
Classical Laplace scheme: P=mnP=\dfrac{m}{n}P=nm​
Outcomes nnn12
Favourable mmm5
P=512=0.4167P=\dfrac{5}{12}=0.4167P=125​=0.4167
Green = favourable outcomes, grey = the rest (equally likely).
Irreducible fraction: 5/12 ≈ 0.4167

Закон больших чисел (интуиция)

В независимых повторениях одного и того же опыта относительная частота наступления события

A

при очень большом числе испытаний стабилизируется около теоретической вероятности

P(A)

, если модель верна. Строгое утверждение формулируют через пределы и меру; в школьном курсе важна идея: данные (частоты) сближаются с моделью (

P

) при длинных сериях.

Это объясняет, зачем смотреть на длинные выборки и почему «одного броска» мало для вывода

Увеличивай число бросков: доля «орла» колеблется, но держится около 1/21/21/2
Empirical frequency vs 12\tfrac{1}{2}21​ for a fair coin
Throws400
Heads: 191 · 191400=0.4775\dfrac{191}{400}=0.4775400191​=0.4775
Fair-coin model (0.5)
Each run is random; with many throws the ratio drifts near 0.5.

Не путать понятия

Термин	О чём речь
Закон распределения $X$	таблица/правило для всех $P(X=x_i)$
Закон больших чисел	сходимость частот к $P$ при росте числа опытов (в точных курсах — в вероятностном смысле)

✅Курс 11 класса даёт язык случайных величин и распределений и мост между опытом и моделью.

🔒 Sign in to use this