Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений

🔒 Sign in to use this

Равносильные уравнения на множестве

Уравнение $f(x)=g(x)$ на заданном множестве $M$ задаёт множество корней — решений. Два уравнения равносильны на

M

, если множества их решений на

M

совпадают. Область допустимых значений (ОДЗ)** выписывают до преобразований; при умножении на дроби — до умножения выясняют, где знаменатели обращаются в ноль.

«Равносильно» без указания $M$ обычно подразумевают соглашение задачи (например все действительные из ОДЗ)

Типовые «легальные» преобразования

Приём	Что происходит с решениями	Условие
Сложить одно и то же выражение с обеих сторон	решения на $M$ не меняются	выражение определено на всех подозрительных $x\in M$
Умножить обе части на $h(x)\neq0$ на $M$	равносильно на $M$	$h$ не обнуляется на рассматриваемых корнях
Возвести обе части в чётную степень	могут появиться лишние корни	нужна проверка подстановкой или ОДЗ

Линейное уравнение к виду

Ax=B

Перенос слагаемых: (a−c)x=d−b(a-c)x=d-b(a−c)x=d−b; если a=ca=ca=c и b=db=db=d — бесконечно много решений; если a=ca=ca=c, но b≠db\neq db=d — пусто.
3x+5=x+133x+5=x+133x+5=x+13
3x+5=x+13⇒(3−1)x=13−53x+5=x+13\Rightarrow (3-1)x=13-53x+5=x+13⇒(3−1)x=13−52x=82x=82x=8x=82=4x=\dfrac{8}{2}=4x=28​=4

Квадратное и дискриминант

После сведения к квадрату смотрите DDD и делите ли вы на aaa (если a=0a=0a=0 — другой класс уравнений).
Discriminant D = b² − 4ac
D для 2x2−5x+2=0D\ \text{для}\ 2x^2-5x+2=0D для 2x2−5x+2=0
=D=9⇒ два корня=D=9\Rightarrow\ \text{два корня}=D=9⇒ два корня

✅Следующий урок — общие приёмы: разложение, замена, комбинация идей и контроль ОДЗ.

🔒 Sign in to use this