Равносильность неравенств. Системы и совокупности неравенств

🔒 Sign in to use this

Умножение на выражение

Неравенство $f(x)<g(x)$ на множестве $M$ после умножения обеих частей на $h(x)>0$ (на $M$ ) сохраняет знак; если $h(x)<0$ — знак меняется на противоположный. Если $h$ меняет знак на $M$ , разбейте область на интервалы знакопостоянства и решайте по частям.

При $h(x)=0$ умножать нельзя без отдельного разбора точек

Система: пересечение множеств

Система неравенств задаёт пересечение допустимых промежутков — нужны все условия одновременно.

Удобно рисовать каждое неравенство на одной оси (см. виджет ниже) и искать общую закрашенную часть

Пересечение: x>1x>1x>1 и x≤5x\le5x≤5
Система двух полупрямых
Solution set on the number line-101234567xUpper shaded band — first inequality
Lower shaded band — second inequality
(1 ; 5](1\,;\,5](1;5]

Совокупность: объединение

Совокупность решает каждое неравенство отдельно, затем объединяет множества решений. На оси это два (или больше) отрезка/луча, не обязательно пересекающиеся.

Перед объединением упростите каждую часть и только потом «склейте» ответ в запись через $\cup$ или несколько интервалов

Первая ветвь: x<2x<2x<2
Часть совокупности
Solution set on the number line-2-10123456x[−∞ ; 2)[-\infty\,;\,2)[−∞;2)

Вторая ветвь: x>5x>5x>5
Часть совокупности
Solution set on the number line-202456810x(5 ; +∞](5\,;\,+\infty](5;+∞]

Запись в задаче

Союз	Множество решений
$\begin{cases}\ldots\end{cases}$	пересечение ( $\cap$ )
совокупность / или	объединение ( $\cup$ )

✅Следующий урок — уравнения и неравенства с двумя переменными и геометрия допустимых пар.

🔒 Sign in to use this